1.1.1 求复合函数表达式: (1) 已知 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, 设 $f_n(x)=f\sed{f\sez{\cdots (f(x))\cdots}}$ ($n$ 个 $f$). 求 $f_n(x)$. (南京邮电大学等) (2) 设 $f(x)=\frac{x}{x-1}$, 试证明 $f\sez{f(x)}=x$, 并求 $f\sez{\frac{1}{f(x)}}$.

 

1.1.2 是否存在这样的函数, 它在区间 $[0,1]$ 上每点取有限值, 在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)

 

1.1.3 试说明能有无穷多个函数, 其中每个函数 $f$, 皆使得 $f\circ f$ 为 $\bbR$ 上的恒等函数.

 

1.1.4 设 $f$ 为 $\bbR$ 上的奇函数, $f(1)=a$, $f(x+2)-f(x)=f(2)$, $\forall\ x\in\bbR$. (1) 试用 $a$ 表达 $f(2)$ 和 $f(5)$; (2) $a$ 为何值时, $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数. (清华大学)

 

1.1.5 设 $f(x)=x-[x]$ (即 $x$ 的小数部分), $g(x)=\tan x$, 说明这时 $f(x)-g(x)$ 为何不是周期函数. 类似地 $f(x)+g(x)$ 也如此. 从而周期函数的和与差未必是周期函数.

 

1.1.6 (双镜效应) 设 $f$ 是 $\bbR$ 上的实函数, $f$ 的图像以直线 $x=b$ 和 $x=c\ (b\neq c)$ 分别作为其对称轴. 试证 $f$ 必为周期函数, 且周期为 $2|b-c|$.

 

1.1.7 设 $f$ 是 $\bbR$ 上的奇函数, 并且以直线 $x=a\ (a\neq 0)$ 作为对称轴, 试证 $f$ 必为周期函数并求其周期.

 

1.1.8 设 $f(x)$ 是 $\bbR$ 上以 $T$ 为周期的周期函数 ($T>0)$, 且 $f$ 在 $[0,T]$ 上严格单调, 试证 $f(x^2)$ 不可能是周期函数.

 

1.1.9 证明确界的关系式: (1) 叙述数集 $A$ 的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列 $\sed{x_n}$, $\sed{y_n}$, 总有 $$\bex \sup\sed{x_n+y_n}\leq \sup\sed{x_n}+\sup\sed{y_n};\qwz{北京科技大学} \eex$$ (2) 设 $A,B$ 是两个由非负数组成的任何数集, 试证 $$\bex \sup_{x\in A}x\cdot \sup_{y\in B}y=\sup_{x\in A\atop y\in B}xy. \eex$$

 

1.1.10 试证: 若 $x_n\to+\infty\ (n\to\infty)$, 则 $\sed{x_n}$ 必达到下确界 (即存在 $m\in \bbN$, 使得 $x_m=\inf \sed{x_n}$). (武汉大学)

 

1.1.11 设 $f,g$ 是 $\bbR$ 上的实函数, 且 $$\bex f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad \forall\ x,y\in\bbR. \eex$$ 在 $\bbR$ 上 $f(x)$ 不恒等于零, 但有界. 试证: $|g(y)|\leq 1\ (\forall\ y\in\bbR)$.

 

1.1.12 设 $f$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的增函数 (指 $\forall\ x_1<x_2: a\leq x_1<x_2\leq b$, 有 $f(x_1)\leq f(x_2)$) (但不一定连续), 如果 $f(a)\geq a$, $f(b)\leq b$, 试证: $$\bex \exists\ x_0\in [a,b],\st f(x_0)=x_0.\qwz{山东大学} \eex$$

 

1.1.13 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 试证: $\exists\ x_0\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建师范大学)

 

1.2.1 (1). 已知 $\dps{\vlm{n}x_n=a}$, 求证: $\dps{\vlm{n}\sqrt[3]{x_n}=\sqrt[3]{a};}$ (武汉大学, 哈尔滨工业大大学) (2). 用 $\ve-\delta$ 语言证明 $\dps{\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}=1}$. (清华大学)

 

1.2.2 用 $\ve-N$ 方法证明: 1) $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{n}=1}$; 2) $\dps{\vlm{n} n^3q^n=0}$ ($|q|<1$); 3) $\dps{\vlm{n}\frac{\ln n}{n^2}=0}$.

 

1.2.3 设 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 试用 $\ve-N$ 方法证明: 若 $$\bex x_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}, \eex$$ 则 $\dps{\vlm{n}x_n=a}$.

 

1.2.4 设 $\dps{x_n=\sum_{k=2}^n \frac{\cos k}{k(k-1)}}$, 试证 $\sed{x_n}$ 收敛.

 

1.2.5 设 $\sed{a_n}$ 是一个数列. 试证: 若 $$\bex \vlm{n}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a\qwz{为有限数}, \eex$$ 则 $\dps{\vlm{n}\frac{a_n}{n}=0}$. (首都师范大学)

 

1.2.6 设 $a_n>0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\exists\ C>0, m<n$ 时, $a_n\leq Ca_m$. 已知 $\sed{a_n}$ 中存在子序列 $\sed{a_{n_k}}\to 0$. 试证: $\dps{\vlm{n}a_n=0}$. (武汉大学)

 

1.2.7 设 $\dps{x_n=1+\f{1}{\sqrt{2}}+\f{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\f{1}{\sqrt{n}} }$, 求证 $\sed{x_n}$ 发散.

 

1.2.8 判断题: 设 $\sed{a_n}$ 是一个数列, 若在任一子序列 $\sed{a_{n_k}}$ 中均存在收敛的子列 $\sed{a_{n_{k_r}}}$, 则 $\sed{a_n}$ 必为收敛数列. (北京大学)

 

1.2.9 设 $\sed{a_n}$ 为单调递增数列, $\sed{a_{n_k}}\subset \sed{a_n}$ 为其一个子列, 若 $\dps{\vlm{k}a_{n_k}=a}$, 试证 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$. (华中师范大学)

 

1.2.10 设 $\sed{x_n}$ 是一个无界数列, 但非无穷大量, 证明: 存在两个子列, 一个是无穷大量, 另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)

 

1.2.11 设函数 $f(x),g(x)$ 在 $0$ 的某个邻域里有定义 $g(x)>0$, $\dps{\lim_{x\to 0}\f{f(x)}{g(x)}=1}$; 且当 $n\to\infty$ 时, $\al_{mn}\rightrightarrows 0\ (m=1,2,\cdots,n)$, 亦即 $\forall\ \ve>0,\ \exists\ N(\ve)>0,$ 当 $n>N(\ve)$ 时, 一切 $m=1,2,\cdots,n$, 都有 $|\al_{mn}|<\ve$; 另设 $\al_{mn}\neq 0$. 试证 $$\bee\label{1.2.11:eq} \vlm{n}\sum_{m=1}^n f(\al_{mn}) =\vlm{n}\sum_{m=1}^n g(\al_{mn}), \eee$$ 当右端极限存在时成立.

 

1.2.12 证明 $$\bex \vlm{n}\sum_{i=1}^n \sex{\sqrt[3]{1+\f{i}{n^2}}-1} =\vlm{n}\sum_{i=1}^n \f{i}{3n^2}=\f{1}{6}. \eex$$ 并求 $$\bex \vlm{n}\prod_{i=1}^n a^{\sqrt[3]{1+\f{i}{n^2}}-1}\ (a>0). \eex$$

 

1.3.1 求极限 $$\bex \vlm{n}\sex{1-\f{1}{2^2}}\sex{1-\f{1}{3^2}}\cdots\sex{1-\f{1}{n^2}}. \eex$$ (北京航空航天大学, 中国科学技术大学)

 

1.3.2 证明 Vieta 公式: $$\bee\label{1.3.2:eq} \f{2}{\pi} =\sqrt{\f{1}{2}}\cdot \sqrt{\f{1}{2}+\f{1}{2}\sqrt{\f{1}{2}}}\cdot \sqrt{\f{1}{2}+\sqrt{\f{1}{2}+\f{1}{2}\sqrt{\f{1}{2}}}} \cdots. \eee$$

 

1.3.3 求 $\dps{\vlm{n}\sex{\f{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}}^n }$ ($a,b,c>0$). (东北师范大学)

 

1.3.4 求 $\dps{\vlm{n}\sex{\cos\f{x}{n}+\lm \sin \f{x}{n}}^n}$ ($x\neq 0$).

 

1.3.5 求 $\dps{\lim_{x\to 0^+}\sqrt[x]{\cos \sqrt{x}}}$.

 

1.3.6 求 $\dps{\vlm{n}\sex{\f{1}{n^2+n+1}+\f{2}{n^2+n+2} +\cdots+\f{n}{n^2+n+n}}}$. (华中师范大学)

 

1.3.7 求 $\dps{\vlm{n}\sex{ \f{1}{\sqrt{n^2-1}} -\f{1}{\sqrt{n^2-2}} -\cdots-\f{1}{\sqrt{n^2-n}}}}$. (湖北大学)

 

1.3.8 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续. 求 $$\bex \lim_{x\to 0}\f{\sqrt[3]{1+f(x)\sin x}-1}{3^x-1}. \eex$$ (华中师范大学)

 

1.3.9 设极限 $\dps{\vlm{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)}$ 存在, 试求 1) $\dps{\vlm{n}\f{1}{n}(a_1+2a_2+\cdots+na_n)}$; 2) $\dps{\vlm{n}(n!a_1\cdot a_2\cdot\cdots\cdot a_n)^\f{1}{n}}$.

 

1.3.10 设 $A=\max\sed{a_1,a_2,\cdots,a_m},\ a_k>0\ (k=1,2,\cdots,m)$, 求 $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}. \eex$$ (陕西师范大学)

 

1.3.11 求 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{1+2^n\sin^nx}}$. (内蒙古大学)

 

1.3.12 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{x-\int_0^x e^{t^2}\rd t}{x^2\sin 2x}}$. (中国科学院)

 

1.3.13 计算 $\dps{\lim_{x\to +\infty}\sex{\f{1}{x}\cdot \f{a^x-1}{a-1}}^\f{1}{x}}$\ ($a>0,\ a\neq 1$). (中国科学院)

 

1.3.14 若 $\dps{f(x)=\seddm{ \f{1-\cos x}{x^2},&x<0\\ 5,&x=0\\ \f{\int_0^x \cos t^2\rd t}{x},&x>0 }}$. 求 $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)}$. (上海工业大学)

 

1.3.15 求 $\dps{\lim_{x\to +\infty}\sex{\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}}}$. (华中师范大学)

 

1.3.16 证明: 当 $0<k<1$ 时, $$\bex \vlm{n}[(n+1)^k-n^k]=0. \eex$$

 

1.3.17 $\dps{\lim_{x\to 1}(2-x)^{\tan \f{\pi x}{2}}}$. (浙江大学)

 

1.3.18 已知 $\dps{\lim_{x\to 2}\f{x^2+ax+b}{x^2-x-2}=2}$, 求 $a,b$. (国防科技大学)

 

1.3.19 $\dps{\lim_{x\to +\infty}x^\f{7}{4}\sex{\sqrt[4]{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-2\sqrt[4]{x} }}$. (华中师范大学)

 

1.3.20 求 $\dps{\lim_{x\to+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})}$. (武汉大学)

 

1.3.21 设 $f$ 是 $\bbR$ 上的可微函数, $\dps{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=A>0}$, 试证: $$\bex \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty. \eex$$

 

1.3.22 设 $f$ 是 $\bbR$ 上的可微函数, $\dps{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=0}$, 试证: $\dps{\lim_{x\to +\infty}\f{f(x)}{x}=0}$.

 

1.3.23 $x_n>0$, $\dps{\vlm{n}x_n=0}$, 试证: 1) $\dps{\vlm{n}\sex{\prod_{k=1}^n x_k}^\f{1}{n}=0}$; 2) $\dps{\vlm{n}\sup_{k\geq 1}\sex{\prod_{i=1}^n x_{i+k}}^\f{1}{n}=0}$.

 

1.3.24 对 $a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n>0$, $p_1>p_2>\cdots>p_n$, $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$, 令 $$\bex F(x)=\sex{p_1a_1^x+p_2a_2^x+\cdots+p_na_n^x}^\f{1}{x}, \eex$$ 试先证明: 1) $a_n\leq F(x)\leq a_1$; 2) $\dps{\lim_{x\to 0^+}F(x)=a_1^{p_1}a_2^{p_2}\cdots a_n^{p_n}}$. 然后求 $\dps{\lim_{x\to \pm \infty}F(x)}$.

 

1.4.1 求 $\dps{\vlm{n}x_n}$, 其中 1) 设 $x_n=\sqrt[n]{n}$; 2) 设 $\dps{x_n=\f{1}{\sqrt[n]{n!}}}$.

 

1.4.2 求 $\dps{\vlm{n}\f{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n} }$. (华中师范大学)

 

1.4.3 已知数列 $\sed{x_n}$ 满足条件 $\dps{\vlm{n}(x_n-x_{n-2})=0}$, 证明: $\dps{\vlm{n}\f{x_n-x_{n-1}}{n}=0}$. (四川大学, 国防科技大学)

 

1.4.4 设 $\dps{\vlm{n}x_n=a}$. 1) 若 $a$ 为有限数, 证明: $\dps{\vlm{n} \f{x_1+2x_2+\cdots+nx_n}{n(n+1)}=\f{a}{2}}$; 2) 若 $a$ 为 $+\infty$, 证明: $\dps{\vlm{n} \f{x_1+2x_2+\cdots+nx_n}{n(n+1)}=+\infty}$. (南京大学)

 

1.4.5 证明: 若数列 $\sed{a_n}$ 收敛于 $a$, 且 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n p_k=\infty}$, $p_k\geq 0\ (k=1,2,\cdots)$, 则 $$\bex \vlm{n}\f{\sum_{k=1}^n p_ka_k}{\sum_{k=1}^n p_k}=a.\qwz{东北师范大学} \eex$$

 

1.4.6 已知 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^na_k}$ 存在, $\sed{p_k}$ 为单调增加的正数列, 且 $\dps{\vlm{n}p_n=+\infty}$, $p_{n+1}\neq p_n\ (n=1,2,\cdots)$, 求证: $$\bex \vlm{n}\f{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_n}=0.\qwz{北京师范大学} \eex$$

 

1.4.7 若 $0<\lm<1$, $a_n>0$, 且 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 试证: $$\bex \vlm{n}(a_n+\lm a_{n-1}+\lm^2a_{n-2}+\cdots+\lm^na_0)=\f{a}{1-\lm}. \eex$$

 

1.4.8 求极限 1) $\dps{\vlm{n}\f{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}}$; 2) $\dps{\vlm{n}\sex{\f{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k}} -\f{n}{k+1}}}$.

 

1.5.1 已知 $$\bex a_1=\sqrt{6},\quad a_n=\sqrt{6+a_{n-1}}\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 试证: $\dps{\vlm{n}a_n}$ 存在, 并求其值. (中国科技大学, 北京大学, 哈尔滨工业大学, 北京邮电大学等)

 

1.5.2 设 $$\bex x_1=1,\quad x_{n+1}=\f{1+2x_n}{1+x_n}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 证明: $\sed{x_n}$ 收敛, 并求 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (哈尔滨工业大学, 华中理工大学等)

 

1.5.3 设 $$\bex 0<c<1,\quad a_1=\f{c}{2},\quad a_{n+1}=\f{c}{2}+\f{a_n^2}{2}. \eex$$ 证明: $\sed{a_n}$ 收敛, 并求其极限. (武汉大学, 华中师范大学)

 

1.5.4 设 $$\bex a>0,\quad 0<x_1<a,\quad x_{n+1}=x_n\sex{2-\f{x_n}{a}}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 证明 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. (华东师范大学)

 

1.5.5 设 $$\bex x_1=a>0,\quad x_{n+1}=\f{1}{2}\sex{x_n+\f{a}{x_n}}. \eex$$ 试证 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. (华中理工大学, 厦门大学, 工程兵学院)

 

1.5.6 $y_{n+1}=y_n(2-y_n),\ 0<y_0<1$. 求证: $\dps{\vlm{n}y_n=1}$. (武汉大学)

 

1.5.7 证明: 1) 存在唯一的 $c\in (0,1)$ 使得 $c=e^{-c}$; 2) 任给 $x_1\in (0,1)$, 定义 $x_{n+1}=e^{-x_n}$, 则有 $\dps{\vlm{n}x_n=c}$. (中国人民大学)

 

1.5.8 设 $\dps{x_{n+1}=1+\f{x_n^2}{1+x_n^2}, x_1=2}$. 证明数列 $\sed{x_n}$ 收敛. (北京师范大学)

 

1.5.9 设 $$\bex x_0>0,\quad x_{n+1}=2+\f{1}{\sqrt{x_n}}. \eex$$ 求 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (武汉大学)

 

1.5.10 设 $\dps{f(x)=\f{x+2}{x+1}}$, 数列 $\sed{x_n}$ 由如下递推公式定义: $$\bex x_0=1,\quad x_{n+1}=f(x_n)\ (n=0,1,2,\cdots). \eex$$ 求极限 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (浙江大学)

 

1.5.11 设 $$\bex u_1=3,\quad u_2=3+\f{4}{3},\quad u_3=3+\f{4}{3+\f{4}{3}},\cdots. \eex$$ 如果数列 $\sed{u_n}$ 收敛, 计算其极限, 并证明数列 $\sed{u_n}$ 收敛于上述极限. (武汉大学)

 

1.5.12 设 $$\bex x_0=m,\quad x_1=m+\ve \sin x_0,\ x_n=m+\ve \sin x_{n-1}\ (n=2,3,\cdots), \eex$$ 其中 $0<\ve<1$. 试证: $\dps{\vlm{n}x_n=\xi}$ 存在且为克普勒方程 $x-\ve \sin x=m$ 的唯一唯一根.

 

1.5.13 设 $|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq k|x_n-x_{n-1}|\ (0<k<1)$, 试证: $\sed{x_n}$ 收敛.

 

1.5.14 设 $a_1,b_1$ 是二正数, 令 $$\bex a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n},\quad b_{n+1}=\f{a_n+b_n}{2}. \eex$$ 试证: $\sed{a_n}$ 和 $\sed{b_n}$ 均收敛, 且 $\dps{\vlm{n}a_n=\vlm{n}b_n}$. (大连理工大学)

 

1.5.15 设 $a_1$ 和 $b_1$ 是任意两个正数, 并且 $a_1\leq b_1$, 还设 $$\bex a_n=\f{2a_{n-1}b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}},\quad b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 求证: $\sed{a_n},\sed{b_n}$ 均收敛, 且极限相同. (中国科学院, 安徽大学)

 

1.5.16 讨论由 $x_1=a, x_n=px_{n-1}+q$ ($p>0$) 所定义的数列的收敛性. (南京大学)

 

1.5.17 设 $\bbR$ 中数列 $\sed{a_n},\sed{b_n}$ 满足 $$\bex a_{n+1}=b_n-qa_n\ (n=1,2,\cdots), \eex$$ 其中 $0<q<1$. 证明: 当 $\sed{b_n}$ 有界时, $\sed{a_n}$ 有界. (清华大学)

 

1.5.18 设 $x_0=1, x_1=e, x_{n+1}=\sqrt{x_nx_{n-1}}\ (n\geq 1)$, 求极限 $\dps{\vlm{n}x_n}$.

 

1.5.19 设 $\dps{a_{n+1}=a_n+a_n^{-1}\ (n>1),\ a_1=1}$, 则 1) $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty}$; 2) $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n^{-1}=+\infty}$. (中国科学院)

 

1.5.20 设连续函数 $f(x)$ 在 $[1,\infty)$ 上是正的, 单调递减的, 且 $$\bex d_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x)\rd x. \eex$$ 试证: 数列 $d_1,d_2,\cdots$ 收敛. (清华大学)

 

1.5.21 已知 $a_1=\al$, $b_1=\be$ $(\al>\be$), $$\bex a_{n+1}=\f{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\f{a_{n+1}+b_n}{2}\quad(n=1,2,\cdots). \eex$$ 证明: $\dps{\vlm{n}a_n}$ 及 $\dps{\vlm{n}b_n}$ 存在且相等, 并求出极限值. (内蒙古大学)

 

1.5.22 证明: 数列 $$\bex x_0>0,\quad x_{n+1}=\f{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}\ (a\geq 0) \eex$$ 的极限存在, 并求其极限. (国外赛题)

 

1.5.23 设 $\sed{x_n}$ 是如此数列: $$\bex x_0=25,\quad x_n=\arctan x_{n-1}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 证明 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. (国外赛题)

 

1.5.24 设 $$\bex S_1=\ln a\ (a>1);\quad S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln(a-S_k)\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 求 $\dps{\vlm{n}S_n}$.

 

1.5.25 设 $x_1>0$, $x_{n+1}=\ln (1+x_n)$. 证明 $x_n\to 0$ 且 $\dps{x_n\sim \f{2}{n}}$ (当 $n\to\infty$ 时).

 

1.5.26 设 $a_1=1$, $a_k=k(a_{k-1}+1)$. 试计算: $$\bex \vlm{n}\prod_{k=1}^n \sex{1+\f{1}{a_k}}.\qwz{国外赛题} \eex$$

 

1.5.27 设正项级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, 数列 $\sed{y_n}$ 由下式确定: $$\bex y_1=1,\quad 2y_{n+1}=y_n+\sqrt{y_n^2+a_n}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 证明 $\sed{y_n}$ 是递增的收敛数列. (福建师范大学)

 

1.6.1 用不同的方法证明以下不等式: 1) $$\beex\bea \vli{n}x_n+\vli{n}y_n&\leq \vli{n}(x_n+y_n) \leq \vli{n}x_n+\vls{n}y_n\\ & \leq \vls{n}(x_n+y_n) \leq \vls{n}x_n+\vls{n}y_n \eea\eeex$$ 在不出现 $(\pm \infty)+(\mp\infty)$ 的情况下成立. 2) 设 $x_n>0,\ y_n>0$ $(n=1,2,\cdots)$, 则 $$\beex\bea \vli{n}x_n \cdot \vli{n}y_n&\leq \vli{n}(x_n\cdot y_n) \leq \vli{n}x_n\cdot \vls{n}y_n\\ & \leq \vls{n}(x_n \cdot y_n)\leq \vls{n}x_n\cdot \vls{n}y_n \eea\eeex$$ 在不出现 $0\cdot (+\infty)$ 的情况下成立.

 

1.6.2 证明: 1) $\dps{\vli{n}x_n-\vls{n}y_n \leq \vls{n}(x_n-y_n) \leq \vls{n}x_n-\vli{n}y_n}$; 2) 若 $x_n>0, y_n>0$ 且 $\dps{\vli{n}y_n>0}$, 则 $$\bex \vli{n}x_n/\vls{n}y_n \leq \vls{n}(x_n/y_n)\leq \vls{n}x_n/\vli{n}y_n. \eex$$

 

1.6.3 证明: 若 $x_n>0$\ ($n=1,2,\cdots)$ 及 $$\bex \vls{n}x_n \cdot \vls{n}\frac{1}{x_n}=1. \eex$$ 则序列 $\sed{x_n}$ 收敛.

 

1.6.4 设 $x_n>0\ (n=1,2,\cdots)$, 试证: $$\bex \vli{n}\f{x_{n+1}}{x_n} \leq \vli{n}\sqrt[n]{x_n} \leq \vls{n}\sqrt[n]{x_n} \leq \vls{n}\f{x_{n+1}}{x_n}. \eex$$ 并由此推出, 当 $\dps{\vlm{n}\f{x_{n+1}}{x_n}=l}$ 时, 则 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{x_n}=1}$.

 

1.6.5 试证: 若 $\dps{\vls{n}\sqrt[n]{|a_n|}=A}$, 则对任意固定的整数 $n_0$ 都有 $$\bex \vls{n}\sqrt[n]{|a_{n_0+n}|}=a.\qwz{北京理工大学} \eex$$

 

1.6.6 证明: 若 $\dps{\vls{n}c_n\leq c}$, 则 $$\bex \vls{n}\f{c_n}{1+|c_n|}\leq \f{c}{1+|c|}. \eex$$

 

1.6.7 给定正数列 $\sed{a_n}$, 证明 $$\bex \vls{n} \sex{\f{a_1+a_{n+1}}{a_n}}^n \geq \e.\qwz{国外赛题} \eex$$

 

1.6.8 证明: 集合 $$\bex M=\sed{\f{1}{2}\pm \f{n}{2n+1};\ n=1,2,\cdots} \eex$$ 只有聚点 $0,1$. (国外赛题)

 

1.6.9 序列 $\sed{x_n}$ 定义如下: $x_1=x$ 是闭区间 $[0,1]$ 中的某一点, 如果 $n\geq 2$, 那么序列 $$\bex x_n=\seddm{ \f{1}{2}x_{n-1},&n\mbox{ 是偶数}\\ \f{1+x_{n-1}}{2},&n\mbox{ 是奇数} } \eex$$ 可能有多少个聚点? (国外赛题)

 

1.6.10 证明: 若序列 $\sed{x_n}$ 有界且 $\dps{\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$. 则此序列的聚点之集合是区间 $[l,L]$, 其中 $$\bex l=\vli{n}x_n,\quad L=\vls{n}x_n. \eex$$

 

1.7.1 试将 $\S$ 1.6 中关于序列上、下极限的例题与练习改变成函数上、下极限的命题, 并加以讨论.

 

1.8.1 设函数 $f(x)$ 在有限区间 $I$ 上有定义, 满足: $\forall\ x\in I$, 存在 $x$ 的某个开邻域 $(x-\del,x+\del)$, 使得 $f(x)$ 在 $(x-\del,x+\delta)\cap I$ 上有界. 1) 证明: 当 $I=[a,b]$ ($0<b-a<+\infty$) 时, $f(x)$ 在 $I$ 上有界; 2) 当 $I=(a,b)$ 时, $f(x)$ 在 $I$ 上一定有界么? (厦门大学)

 

1.8.2 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义且在每一点处函数的极限存在, 求证: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界. (哈尔滨工业大学)

 

1.8.3 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有定义, $\forall\ \xi\in (a,b)$, $\exists\ \del>0$, 当 $x\in (\xi-\del,\xi+\del)\cap (a,b)$ 时, 有 $$\bex f(x)<f(\xi)\ (\mbox{当 }x<\xi\mbox{ 时}); \quad f(x)>f(\xi)\ (\mbox{当 }x>\xi\mbox{ 时}). \eex$$ 求证: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格递增.

 

1.8.4 用有限覆盖定理证明: 任何有界数列必有收敛子列. (西北大学)

 

1.8.5 试用区间套定理重新证明第 1.1 节 练习 1.1.13: ``设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 试证: $\exists\ x_0\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建师范大学) ''